\documentstyle[hebrew_newcode,hebcal]{article}
\pagestyle{empty}

%\usepackage{amsfonts}
%\newcommand{\field}[1]{\mathbb{#1}}
%\newcommand{\reals}{\field{R}}
\newcommand{\reals}{\hbox{$\rlap{\rm I} \>  \kern-.2mm{\rm R}$}}
\newcommand{\rationals}{\hbox{$\rlap{\rm I} \>  \kern-1.5mm{\rm Q}$}}
\newcommand{\naturals}{\hbox{$\rlap{\rm I} \>  \kern-.2mm{\rm N}$}}


\begin{document}
\sethebrew {\Large\begin{center} {מתימטיקה בדידה - תרגיל מס' 2}\end{center}}
%\sethebrew {\large\begin{center} {תאריך הגשה: \L{25.03.04}}\end{center}}
%\begin{large}
\begin{enumerate}


\item הצרן את הטענות הבאות:

\begin{enumerate}
\item {\em אם יש פילים על הירח אז פילים אילו הם ירוקים.}


\item {\em הכרחי להיות חזק כדי להיות טייס.}
\item {\em כל סוס באורווה שזנבו לבן הוא בעל כתם על המצח.}
\item {\em סוסים עם זנב לבן אינם מחבבים סוסים עם כתם על המצח.}
\item {\em לאף סוס באורווה אין זנב לבן.}
\item {\em באורווה יש לכל היותר שני סוסים שחורים.}
\item  {\em דרך נקודה שמחוץ לישר נתון עובר מקביל יחיד לאותו ישר. }
\item {\em במשולש שווה צלעות, כל הזויות שוות זו לזו.}

\end{enumerate}


\item בלא שימוש בסימן השלילה הצג נוסח מוצרן חלופי ל-:
$$\neg[\exists x\in \rationals.\forall y \in \rationals.((y^2<2\rightarrow x>y)\wedge (\forall \epsilon > 0.
\exists z\in \rationals. (z^2<2\wedge z > x-\epsilon)))] $$
$\rationals$ - קבוצת המספרים הרציונליים. האם זהו פסוק אמת?
\\אם כן - נמק בהרחבה. אם לא -תן דוגמא נגדית.


\item האם הפסוקים הבאים שקולים לוגית? נמק.
\begin{itemize}
\item $\forall x (P(x)\wedge Q(x))$ ו-$(\forall x P(x)) \wedge (\forall x Q(x))$.

\item $\exists x (P(x)\wedge Q(x))$ ו-$(\exists x P(x)) \wedge (\exists x Q(x))$.

\item $\forall x (P(x)\vee Q(x))$ ו-$(\forall x P(x)) \vee (\forall x Q(x))$.

\item $\exists x (P(x)\vee Q(x))$ ו-$(\exists x P(x)) \vee (\exists x Q(x))$.


\end{itemize}



\item נסח בעברית את הטענות המוצרנות על ידי הפסוקים הבאים. לגבי כל פסוק, קבע אם הוא אמת או שקר על ידי
דוגמא נגדית או הסבר מדויק.
\begin{enumerate}
\item $\forall a,b,c\in\reals. [((b\neq 0)\wedge (b^2-4ac\geq 0))
\rightarrow (\exists x\in\reals. ax^2+bx+c = 0)] $

\item $\exists x\in\reals.[(x>1)\rightarrow (\forall y\in\reals. y>100)]$

\item $(\exists x\in\reals.x>1)\rightarrow (\forall y\in\reals.y>100)$

\item $(\forall x\in\reals. \exists y\in\reals. x = y+1)\wedge (\forall y\in\reals. \exists x\in\reals.y=x+1)$

\item $\exists x\in\reals. [(\exists y\in\reals.x=(1-y)^2)\wedge (\exists y\in\reals.x = -y^2)]$

\item $\forall \epsilon\in\reals.[(\epsilon > 0)\rightarrow
(\exists n_0\in \naturals.(\forall n\in \naturals.(n>n_0)\rightarrow
(\frac{1}{n}<\epsilon)))]$

\item $\forall \epsilon\in\reals.[(\epsilon > 0)\rightarrow
(\exists n_0\in \naturals.[\forall n\in
\naturals.((n>n_0)\rightarrow (|\frac{1}{n}-1|<\epsilon))])]$
\end{enumerate}

\item בדקו האם המסקנה {\sf "יוסי יעזור למשה או שדני לא יעזור למשה"} נובעת לוגית מההנחות
הבאות: {\sf "יוסי יעזור למשה אם משה יבקש", "דני יעזור למשה אם משה
יתחיל ללמוד", "משה יתחיל ללמוד".}


\end{enumerate}



\end{document}
