פתרונות נבחרים לשיעורי הבית

                                                             תרגיל מס 5

3.	קבעו לגבי כל אחת מהפונקציות הבאות תחום, טווח, האם היא חח"ע והאם היא על הטווח שקבעת:
א.	. תחום: . אם נבחר כטווח את , אז הפונקציה היא חח"ע ועל. 
הפונקציה חח"ע: נניח .

הפונקציה על: יהי . נגדיר .
.

ב.. תחום . טווח: .
הפונקציה חח"ע. נניח .

הפונקציה על: בהינתן קבוצה  נגדיר .

6.	חשבו: (הערה: התשובה לחלק מהסעיפים עשויה להיות: לא מוגדר)
א.	
ב.	
ג.	
ד.	. ערך זה אינו מוגדר, מכיוון שהפונקציה אמורה לקבל זוג סדור.

7.	נגדיר:			  ,
הערה: נתייחס אל 5 כאל איבר ב – N.
א.	מצא תחום וטווח של הפונקציות f ו – g ?
פתרון: התחום של f הוא R. התחום של g הוא .
טווח של f הוא . טווח של g הוא N.
ב.	חשבו: .
פתרון: .  - לא מוגדר.
.
חשבו: .
פתרון: .

8.	נתונות הפונקציות , . הוכח:
א.	אם  על, אז g על.
פתרון: יהי . קיים  עבורו . נסמן . אזי .
ב.	אם  על וגם g חח"ע, אז f על.
פתרון: יהי . נסמן .  על ולכן קיים a עבורו . מכאן . הפונקציה g היא חח"ע ולכן . הראינו שלכל b קיים a עבורו  ולכן f פונקציה על.
ג.	אם  חח"ע וגם f על, אז g חח"ע.
פתרון. יהיו  ונניח . הפונקציה f היא על ולכן קיימים  עבורם . מכאן ש: . הפונקציה  חח"ע ולכן . מכאן ש: .

9.	נתונות פונקציות . הוכח שאם  הפיכה, אז גם הפונקציות   f ו – g הן הפיכות (ניתן להיעזר בשאלה הקודמת).
פתרון: נראה תחילה כי f היא חח"ע. נניח . מכאן ש: . הפונקציה  חח"ע ולכן .
הפונקציה f היא גם על, שכן הראינו שאם פונקציה עבור פונקציה h כלשהי  היא על, אז גם f היא על. מצאנו כי f היא הפיכה. מכאן שקיימת פונקציה  שאף היא הפיכה. הפונקציות  ו - הפיכות, לכן   גם הפיכה. מכאן שגם הפונקציה  הפיכה.

10. נגדיר  , 
בצורה הבאה:           .
. הוכיחו כי .
פתרון: תהי h פונקציה מ – N ל – R.