פתרונות נבחרים לשיעורי הבית

תרגיל מס' 8

1.	א. חשב את עוצמת קבוצת כל הסדרות ההנדסיות האינסופיות של מספרים רציונליים (כלומר הסדרות ההנדסיות שכל אבריהן הינם מספרים רציונליים).
הסבר אינטואיטיבי: כל סדרה הנדסית מוגדרת על-ידי שני מספרים רציונליים: המספר הראשון בסדרה והיחס בין שני מספרים עוקבים. לכן עוצמת קבוצת הסדרות החשבוניות כעוצמת , כלומר .
פתרון: תהי A קבוצת כל הסדרות ההנדסיות האינסופיות של מספרים רציונליים. הפונקציה  היא פונקציה הפיכה מ – QQ ל – A (מדוע?).

2.	חשבו את עוצמת הקבוצות הבאות:
ד.	קבוצת כל הסדרות המתכנסות של מספרים ממשיים.
הסבר: נסמן ב – A את קבוצת כל הסדרות המתכנסות של מספרים ממשיים.  ולכן .
נראה גם כי , ונסיק כי . תהי  הפונקציה . זוהי הפונקציה שמתאימה לכל r ממשי את הסדרה  פונקציה זאת היא חח"ע (מדוע?). לכן .

ה.	קבוצת כל הסדרות הממשיות המתכנסות ל- 0.
הסבר: נסמן ב – B את קבוצת כל הסדרות הממשיות שמתכנסות ל – 0. 
. נראה גם כי . תהי  הפונקציה . זוהי הפונקציה שמתאימה לכל r ממשי את הסדרה . פונקציה זאת היא חח"ע (מדוע?). לכן .

ו.	קבוצת כל הסדרות הממשיות שאינן מתכנסות.
הסבר: נסמן ב – C את קבוצת כל הסדרות הממשיות שאינן מתכנסות. . נראה גם כי . תהי  הפונקציה שמתאימה למספר ממשי r את הסידרה  (כיתבו פונקציה זאת בצורה פורמלית). פונקציה זאת היא חח"ע (מדוע?). לכן .

.4
א.	עיגול במישור מוגדר להיות קבוצת נקודות  עבור a, b  ממשיים כלשהם ו–  r > 0. תהי C קבוצה של עיגולים זרים במישור. הוכח כי .
הסבר: כיון שהעיגולים זרים, פונקציה המתאימה לכל עיגול ב – C נקודה ב -  הנמצאת בתוכו היא חח"ע (מדוע תמיד יש נקודה כזו?). מכאן .

ב.	מעגל במישור מוגדר להיות קבוצת נקודות  עבור a,b ממשיים כלשהם
ו–  r > 0. תהי C קבוצה של מעגלים זרים במישור. האם בהכרח ?
פתרון: לא. תהי C הקבוצה . כל המעגלים ב – C זרים. הפונקציה  היא פונקצית שקילות מ – R+ ל - C. לכן .

5.	חשב את עוצמת קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מ R ל R.
הרעיון: נתאים לכל תת קבוצה של ממשיים חיוביים A פונקציה הפיכה ע"י "שינוי" פונקצית הזהות בהתאם לקבוצה A. דוגמא להתאמה כזו היא התאמה של הקבוצה A לפונקציה שמקבלת מספר ממשי  x ומחזירה את x אם |x| אינו אבר ב A ואת –x אם |x| הינו אבר ב  A. זוהי התאמה המתאימה לכל קבוצה של ממשיים חיובים פונקציה הפיכה מ R ל R. ניתן להראות כי התאמה זו היא חח"ע. (שים לב שבעזרת התאמה זו נקבל חסם תחתון בלבד לעוצמת כל הפונקציות ההפיכות מ R ל R).

6.	א. תהי  עוצמה אינסופית. הוכח כי .

הראינו בכיתה שלכל עוצמה אינסופית מתקיים ש-. לכן, .

ב. הוכח כי לכל עוצמה  קימת עוצמה  כך ש .

אם  היא עוצמה סופית, אז ניתן לקחת, למשל, את . מכיוון ש- ועוד כל עוצמה סופית נותן , נקבל ש- כנדרש. נטפל עכשיו במקרה ש- היא עוצמה אינסופית. נתבונן בעוצמה . אז מצד אחד, ברור ש-. מצד שני, בעזרת שימוש בסעיף א', . לכן, לפי משפט קנטור-ברנשטיין, .
הערה: לא ניתן היה לקחת כי אנחנו לא יודעים להוכיח שמתקיים  עבור עוצמות אינסופיות .