מתמטיקה בדידה - תרגיל 8

1.	
א.	חשב את עוצמת קבוצת כל הסדרות ההנדסיות האינסופיות של מספרים רציונליים .
ב.	חשב את עוצמת קבוצת כל הסדרות ההנדסיות האינסופיות של מספרים ממשיים.
ג.	חשב את עוצמת קבוצת כל הסדרות ההנדסיות האינסופיות של מספרים מרוכבים.

2.	חשבו את עוצמת הקבוצות הבאות:

א.	קבוצת כל הסדרות המחזוריות של ממשיים.
ב.	קבוצת כל הסדרות המונוטוניות עולות של ממשיים
ג.	קבוצת כל הסדרות של מספריים ממשיים בין אפס לאחד.
ד.	קבוצת כל הסדרות המתכנסות של מספרים ממשיים.
ה.	קבוצת כל הסדרות הממשיות המתכנסות ל- 0.
ו.	קבוצת כל הסדרות הממשיות שאינן מתכנסות .

3.	מספר ממשי יקרא מספר אלגברי אם הוא שורש של פולינום במקדמים רציונליים. מספר ממשי יקרא מספר טרנסצנדנטלי אם הוא לא מספר אלגברי (למשל  ו  e הינם מספרים טרנסצנדנטליים).
א.	הוכח כי עוצמת קבוצת המספרים האלגבריים היא .
ב.	הוכח כי עוצמת קבוצת המספרים הטרנסצנדנטליים היא.

4.	
א.	עיגול במישור מוגדר להיות קבוצת נקודות  עבור a, b  ממשיים כלשהם ו–  r > 0 כלשהו. תהי  C קבוצה אינסופית של עיגולים זרים במישור. הוכח כי .
ב.	מעגל במישור מוגדר להיות קבוצת נקודות  עבור a, b ממשיים כלשהם ו–  r > 0 כלשהו. תהי C קבוצה אינסופית של מעגלים זרים במישור. האם בהכרח ?

5.	חשב את עוצמת קבוצת כל הפונקציות ההפיכות מ- R ל- R.

6.	
א.	תהי  עוצמה אינסופית. הוכח כי .
ב.	הוכח כי לכל עוצמה  קימת עוצמה  כך ש .

 בהצלחה